Rumus-rumus Polinomial

Selamat pagi para pejuang SNMPTN! Apa kabar kalian hari ini? Msih berkutat dengan matematika, kalian harus tau dalam dunia matematika, polinomial atau suku banyak adalah pernyataan matematis yang berhubungan dengan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebab itu kita perlu memahami rumus-rumus polinomial.

Rumus Umum Dari Rumus-Rumus Polinomial

Bentuk umum dari suatu polinomial adalah sebagai berikut:

a_nxⁿ+…+a₂x²+a₁x¹+a₀

dimana a merupakan koefisien konstan, dan pangkat tertinggi pada polinomial tersebut menandakan orde atau derajatnya, sehingga polinomial diatas memiliki derajat atau orde n. Ini dulu yang perlu kalian pahami karena kalian tidak akan bisa melangkah tanpa persamaan ini.

Pada umumnya, bentuk umum dari pembagian polinomial adalah

F(x) = P(x) × H(x) + S(x)

Dimana

F(x) : suku banyak

H(x) : hasil bagi

P(x) : pembagi

S(x) : sisa

Hm, kalian juga perlu mengingat kembali penjumlahan dan pengurangan bilangan pangkat. Pangkat itu jika ditambah, artinya koefisien bilangan di bawahnya harus dikalikan, sedangkan jika dibagi atinya pemangkatannya akan dikurangi.

Sebelum kita memahami metode pembagian polinomial, terlebih dahulu kita harus mengetahui tentang teorema sisa yaitu

Misalkan F(x) merupakan polinomial berderajat n,

• Jika F(x) dibagi (x-k) maka hasilnya adalah F(k)
• Jika F(x) dibagi (ax-b) maka hasilnya adalah F(b/a)
• Jika F(x) dibagi (x-a)(x-b) maka hasilnya adalah

Hm, sebenarnya itu juga sudah mencakup rumus-rumus polinomial, ya ga sih? Kemudian untuk metode pembagian polinomial terdapat beberapa cara, diantaranya

Metode Pembagian Biasa

Contohnya adalah jika 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dengan 2x² – x – 1

maka hasil bagi dan sisanya adalah hasil bagi = x-1 dan sisa = x+4

 Metode Horner

Metode ini hanya dipakai untuk pembagi yang berderajat 1 ataupun pembagi berderajat n yang bisa difaktorkan jadi pembagi-pembagi dengan derajat 1.

Langkah langkah :

1) Tulis koefisien dari polinomialnya → dan pastikan harus urut dari koefisien xⁿ, x^{n – 1}, … hingga konstanta (untuk variabel yang tidak memiliki koefisien, maka ditulis 0). Misalkan untuk 5x³ – 8, koefisien-koefisiennya adalah 5, 0, 0, dan -8. Ingat kembali jika koefisien adalah angka yang berada di depan pangkat.

2) Untuk koefisien dengan derajat tertinggi P(x) ≠ 1, hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)

3) Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi

• P₁ dan P₂, maka S(x) = P₁ × S₂ + S₁
• P₁, P₂, P₃, maka S(x) = P₁×P₂×S₃ + P₁×S₂ + S₁
• P₁, P₂, P₃, P₄, maka S(x) = P₁×P₂×P₃×S₄ + P₁×P₂×S₃ + P₁×S₂ + S₁
• dan seterusnya

Metode Koefisien Tak Tentu

Metode ini dikerjakan dengan cara mensubstitusikan F(x) berderajat m dan P(x) berderajat n ke dalam bentuk umum pembagian polinomial, kemudian H(x) dan S(x) nya diisi dengan angka-angka sesuai ketentuannya.

H(x) merupakan polinomial berderajat k, dimana k = m – n

S(x) merupakan polinomial berderajat n-k

Bagaimana sih cara praktek rumus-rumus polinomial yang satu ini?

Bagaimana cara menentukan akar persamaan dengan pangkat lebih dari dua? Sekarang akan kita pelajari selengkapanya, yaitu dengan menggunakan teorema sisa dan teorema factor.

a. Teorema sisa

Jika suku banyak f(x) dibagi x – k maka sisanya adalah f(x).

Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh ax + b adalah (temukan dalam penghitungan)

Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x-a) (x-b) adalah (temukan dalam penghitungan)

b. Teorema faktor

Suku banyak f(x) mempunyai factor (x-k) jika dan hanya jika f(x) = 0; k disebut juga akar dari f(x).

Persamaan suku banyak berbentuk an xn + an-1 x n-1 + . . . + a0 dan (x-k) adalah factor dari f(x), maka nilai k yang mungkin adalah (temukan dalam pengerjaan soal)

Contoh Aplikasi Rumus-Rumus Polinomial

(x) = 2x³ – 3x² + x + 5

P(x) =  2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

Sehingga p1 : (2x + 1) = 0 -> x = -1/2 dan p2 : (x – 1) = 0 -> x = 1

Jadi, diperoleh hasil dan sisanya sebagai berikut

H(x) = x-1

S(x) = P₁×S₂ + S₁ = x + 4

Diketahui sisa pembagian suatu suku banyak f(x) oleh ( x2 + 6x – 16) adalah (4x-5). Tentukan :

a. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x-2) ;

b. Nilai f(-8).

Jawaban:

Jika h(x) hasil bagi dan s(x) = 4x-5 merupakan sisa pembagian, dapat dituilskan:

F(x) (x2+6x – 16) h(x) + s(x)

=( x + 8) (x-2) h(x) + (4x-5)

a. Sisa pembagian f(x) oleh (x – 2):

S(2) = 4(2) – 5

= 8 – 5 = 3

b. f(x) = (x + 8) (x – 2) h(x) + (4x -5)

f(-8) = (-8 +8) (-8 -2) h(-8) + (4(-8) -5)

= (0) (-10) h(-8) + (-32 -25)

= 0 + (-37) =-37

Atau dengan teorema sisa diperoleh:

f(-8) = s(-8) = 4(-8) – 5

= -32 – 5

= -37

Jadi, f(-8) = -37

Jadi yang perlu kalian catat dan garisbawahi adalah rumus-rumus polinomial yang identik dengan masing-masing soal yang berbeda. Sebaiknya juga kalian mengerjakan secara langkah demi langkah.

Gimana nih sahabat Latis sudah mulai berpusing-pusing ria? Sama dong! Biar ga pusing ayo segera kita cari guru privat. Kalo kalian di Jakarta, cari aja les privat Jakarta ya! Kalian juga harus makin rajin nih latihan soal-soal!

Referensi:

1. rumuspintar.com

2. pelajaran.co.id