Eksponen dan Logaritma

Sahabat Latis, berbicara mengenai eksponen dan logaritma, dalam kehidupan sehari-hari ada begitu banyak kegiatan yang menggunakannya. Contohnya dalam bisnis, pendidikan bahkan ketatanegaraan menggunakannya untuk mendeskripsikan dan menyelesaikan permasalahan di dunia ini. Mulai dari investasi uang, pertambahan penduduk, dan lainnya. Secara lebih luas keduanya logaritma sering digunakan untuk mendeskripsikan peristiwa pertumbuhan. Alasannya dikarenakan logaritma merupakan invers atau kebalikan dari eksponen.

Eksponen dan Logaritma: Konsep

Logaritma juga digunakan untuk memecahkan masalah-masalah eksponen yang sulit untuk dicari penyelesaiannya.

Misalkan 2x = 16 maka kalian pasti akan langsung dapat mengetahui nilai x yang memenuhi yaitu 4. Namun untuk menyatakan bentuk x, kalian dapat menuliskan dalam bentuk logaritma yaitu x = ²log 16. Dengan menggunakan sifat dari logaritma, maka dapat diketahui nilai x yang memenuhi adalah 4.

Definisi fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis a sebagaimana tercantum dalam buku Matematika adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

f : x → aˣ atau y = f(x) = aˣ

Sedangkan logaritma sendiri merupakan invers atau kebalikan dari eksponen. Sehingga dapat didefinisikan Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a (a > 0 dan a ≠ 1) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

y = f(x) = alog x

Eksponen

a. Definisi Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum : f : x → ax atau y = f(x) = ax
Catatan:

– f(x) = ax disebut rumus atau aturan bagi fungsi eksponen baku atau fungsi eksponen standar.
– a disebut bilangan pokok atau basisbagi fungsi f(x) = ax, dengan ketentuan: a > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
– peubah x dinamakan peubah bebas atau variabel bebas (independent variabel) dan himpunan dari semua peubah x disebut daerah asal atau domain fungsi f, ditulis: Df = { x I x Є R }
– peubah y dinamakan peubah bergantung atau variabel tak bebas (dependent variabel ) dan himpunan dari semua peubah y disebut daerah hasil atau wilayah hasil atau range fungsi f, ditulis : Wf = { y I y > 0 dan y Є R }

b. Sifat-sifat Eksponen

Jika a dan b adalah bilangan real positif, serta x dan y bilangan real, maka berlaku hubungan:

ax x ay = ax+y
ax : ay = ax-y , a≠0
(a : b)x = ax : bx , b≠0
(ax)y = ax .y
(a x b)x = ax x bx
(am x bn)x = amx x bnx
a-x = 1/ax
a0 = 1 , a≠0
\bullet \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}} \bullet \sqrt[m]{\sqrt[n]{a^{p}}}=\sqrt[mn]{a^{p}}=a^{\frac{p}{mn}}
Catatan:

a0 = 1 untuk setiap a Є R dan a≠ 0.
00 = tak-tentu
0x = 0 untuk setiap x bilangan real positif.
0x = tak-terdefinisi untuk setiap x bilangan real negatif.

c. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen merupakan persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Beberapa macam bentuk persamaan eksponen disertai cara menentukan penyelesaiannya antara lain:

Bentuk af(x) = ap

Jika af(x) = ap (a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = p

Bentuk af(x) = 1
Jika af(x) = 1(a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = 0

Bentuk af(x) = ag(x)
Jika af(x) = ag(x) ( a> 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = g(x).

Bentuk af(x) = bf(x)
Jika af(x)=bf(x) (a >0 dan a≠1, b > 0 dan b ≠ 1, dan a ≠ b ), maka f(x)=0

Bentuk {H(x)}f(x) = {H(x)}g(x)
Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka kemungkinannya adalah:
» f(x) = g(x)
» h(x) = 1
» h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif
» h(x) = -1, asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau (x) dan g(x) keduanya genap.

Bentuk A{af(x)}2 + B{af(x)} + C = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{af(x)}2 + B{af(x)} + C = 0 (a > 0 dan a ≠ 1 ), A, B, dan C bilangan real dan A ≠ 0)dapat ditentukan dengan cara mengubah eksponen itu kedalam persamaan kuadrat.

d. Pertidaksamaan Eksponen

Merupakan pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

Sifat fungsi monoton naik (a>0)
» Jika af(x) ≥ ag(x), maka f(x) ≥ g(x)
» Jika af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≤ g(x)

Logaritma

Adalah invers dari perpangkatan atau eksponen. Oleh karena itu fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen.
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a (a > 0 dan a ≠ 1) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum : y = f(x) = alog x
Fungsi logaritma y = f(x) = alog x merupakan fungsi invers dari fungsi komponen y = f(x) = ax.

log a = x, jika dan hanya jika a = gx

Maka:

f(x) = alog x disebut rumus atau aturan bagi fungsi logaritma standar.
a adalah bilangan pokok atau basis bagi fungsi f(x) = alog x, dengan ketentuan a > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
Daerah asal (domain) fungsi f(x) = alog x adalah Df = {x | x > 0 dan xR}.
Wilayah hasil (range) fungsi f(x) = alog x adalah Wf = {y | y R}.

Sifat Logaritma

Sifat dasar logaritma : g log n = n, g log g = 1, g log1 = 0
Sifat-sifat yang lain :
– Jika g > 0 dan g ≠ 1, p > 0 dan p ≠ 1, a > 0 , dan b > 0, maka berlaku hubungan:

glog(a x b) = glog a + glog b
glog(a/b) = glog a – glog b
glog an = n x glog a
gnlog am = (n/m) glog a
alog b . alog c = alog c
glog a = 1/alog g

Persamaan Logaritma

Merupakan persamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.

Macam-macam:

– Bentuk alog f(x) = alog p
Jika alog f(x) = alog p maka f(x) = p asalkan f(x) > 0
– Bentuk alog f(x) = blog f(x)
Jika alog f(x) = blog f(x) (dengan a ≠ b) maka f(x) = 1
– Bentuk alog f(x) = alog g(x)
Jika alog f(x) = alog g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif.
– Bentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)
Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x) ≠ 1.
– Bentuk A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0 (a > 0 dan a ≠ 1, A, B, dan C bilangan real dan A ≠ 0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan logaritma itu menjadi persamaan kuadrat.

Jika diambil permisalan alog x = y maka persamaan logaritma tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan kuadrat dengan variable y sebagai Ay2 +By + C = 0. Nilai-nilai y yang didapat dari persamaan kuadrat itu disubtitusikan kembali pada permisalan, sehingga didapat persamaan logaritma alog x = y inilah nilai-nilai x dapat ditentukan.

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x. Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan monoton turun pada fungsi-fungsi logaritma standar.

Sifat fungsi logaritma monoton naik (a > 1)
» Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x); f(x) dan g(x) > 0
» Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x); f(x) dan g(x) > 0

Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)

» Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x); f(x) dan g(x) > 0

» Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x); f(x) dan g(x) > 0

Grafik Fungsi Logaritma

1) Basis a >1 (monoton naik)

Sifa-sifat fungsi eksponen f : x → alog xdengan basis a > 1 dapat dikaji melalui grafik fungsi eksponen y = f(x) = alog x

2) Basis 0 < a < 1 (monoton turun)

Lalu apa fungsi dan lenerapan Logaritma?

Dalam bidang kimia biasanya digunakan dalam penghitungan menetukan derajat kesamaan yang dinyatakan dalam symbol pH suatu senyawa kimia. Nah jadi penting kan eksponen dan logaritma?

Gimana nih sahabat Latis sudah mulai berpusing-pusing ria? Sama dong! Biar ga pusing ayo segera kita cari guru privat. Kalo kalian di Jakarta, cari aja les privat Jakarta ya! Kalian juga harus makin rajin nih latihan soal-soal!

Referensi:

Scientif.com

kompas.com